Distribución
Ji- Cuadrado
Este modelo
es importante en el estudio de la estadística inferencial. Se obtiene de la distribución
gama con α=ν/2, β=2.
Definición
Una variable
aleatoria conjunta x tiene distribución ji-cuadrada si su densidad de
probabilidad está dada por
Esta distribución
tiene un parámetro: ν>0 y se denomina numero de grados de libertad.
En realidad
la distribución Ji-cuadrada es la distribución muestral de S2. O sea
que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada
muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de la
varianza. Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita
conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de
una población normal con varianza σ2 el estadístico.
Tiene una distribución
muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se
denota X2. El estadístico ji- cuadrada esta dado por:
Donde n es el
tamaño de la muestra, S2 la varianza muestral y σ2 la
varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada
también se puede dar con la siguiente expresión:
Propiedades
de la distribución Ji-cuadrada
1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.
2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En
consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
3. El área bajo una curva ji-cuadrada y
sobre el eje horizontal es 1.
4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas
estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
5. Cuando n>2, la media de una
distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura
ilustra tres distribuciones X2
Ejemplo
Suponga que
los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar uno de sus destinos
en una ciudad grande forma una distribución normal con una desviación estándar =1
minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la
probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución:
Primero se
encontrara el valor de ji-cuadrada correspondiente a S2=2 como
sigue:
El valor de
32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se
encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia,
el valor de la probabilidad es P(S2>2).
Con base en:
[1] Distribución Ji-cuadrada [Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]. Disponible en:
http://prezi.com/vm4-qqlyquyk/distribucion-de-ji-cuadrada/
[2] Distribución ji-cuadrada curso estadística 1 [Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]. Disponible en:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.HTML
[3] Probabilidad y estadística básica para ingenieros pdf [Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]
