Distribución Ji- Cuadrado

Este modelo es importante en el estudio de la estadística inferencial. Se obtiene de la distribución gama con α=ν/2, β=2.

Definición

Una variable aleatoria conjunta x tiene distribución ji-cuadrada si su densidad de probabilidad está dada por

 

 

Esta distribución tiene un parámetro: ν>0 y se denomina numero de grados de libertad.

En realidad la distribución Ji-cuadrada es la distribución muestral de S². O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de la varianza. Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X². Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza σ² el estadístico.

 

Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X². El estadístico ji- cuadrada esta dado por:

 

Donde n es el tamaño de la muestra, S² la varianza muestral y σ² la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

 

Propiedades de la distribución Ji-cuadrada

1.    Los valores de X² son mayores o iguales que 0.

2.    La forma de una distribución X² depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X².

3.    El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

4.    Las distribuciones X² no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

5.    Cuando n>2, la media de una distribución X² es n-1 y la varianza es 2(n-1).

6.    El valor modal de una distribución X² se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X²

Ejemplo

Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar uno de sus destinos en una ciudad grande forma una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Solución:

Primero se encontrara el valor de ji-cuadrada correspondiente a S²=2 como sigue:

 

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(S²>2).

Con base en:

[1] Distribución Ji-cuadrada [Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]. Disponible en:
http://prezi.com/vm4-qqlyquyk/distribucion-de-ji-cuadrada/

[2] Distribución ji-cuadrada curso estadística 1 [Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]. Disponible en:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.HTML

[3] Probabilidad y estadística básica para ingenieros pdf [Fecha de consulta: 17 de noviembre del 2013]